
\chapter{Ряды}
\section{Основные определения и простейшие свойства}
	\definition[ряд]{
    Пусть задана последовательность \(\{a\}_{n = 0}^{\infty}\). Хотим узнать,
    какой смысл можно приписать сумме всех её элементов.  Пишем \(\series{n = 0}
    a_n\), и говорим, что это \defined{ряд}.
	}
	\definition[частичная сумма]{
		\defined{Частичной суммой} называется \[
			S_N = \sum\limits_{n = 0}^N a_n
		\].
  }
	\definition[сумма ряда]{
		Тогда такой предел \[
			\lim\limits_N S_N \equiv \series{n = 0} a_n
    \] называют \defined{суммой ряда}. Если он существует, то ряд
    \defined[сходящийся ряд]{сходящийся}.
	}

	\subsection{Свойства сходящихся рядов}
	\begin{enumerate}
		\item
      Если \(\series{n = 0} a_n\) -- сходится, \(k \in \realnum\), то
      \(\series{n = 0} ka_n = k\series{n = 0} a_n\).
		\item	
			Если \(\series{n = 0} a_n\) и \(\series{n = 0} b_n\) сходятся, то
			\(\series{n = 0} (a_n \pm b_n) = \series{n = 0} a_n \pm \series{n = 0} b_n\).
		\item
      Если \[
        \series{n = 0} a_n
      \] сходится, то и \[
        \series{n = n_0} a_n
      \] тоже сходится, и \[
        \series{n = 0} a_n = \sum\limits_{n = 0}^{n_0} a_n + \series{n = n_0} a_n
      \].
		\item
			Свойство фундаментальности на языке частичных сумм.
			
      \(\series{n = 0} a_n\) сходится \(\iff\) существует \(\lim\limits_N
      S_N\) \(\iff\) \(S_N\) фундаментальна, то есть \[
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N_0} : \forall{n_1, n_2 > N_0}
        \pred{\abs{S_{n_2} - S_{n_1}} < \varepsilon}
			\], то есть \[
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N_0} : \forall{n_1, n_2 > N_0}
        \pred{\abs{\sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2}} < \varepsilon}
			\].
      
      \definition{
        Ряд \defined[абсолютная сходимость]{сходится абсолютно} если сходится
        \(\series{n = 0} \abs{a_n}\).
			}
			\definition{
        Ряд \defined[сходится условно]{сходится условно} если \(\series{n = 0} \abs{a_n}\)
        расходится.
			}
		\item
			Из абсолютной сходимости следует сходимость. \[
				\abs{\sum_{n = n_1 + 1}^{n_2} a_n } \le \sum_{n = n_1 + 1}^{n_2} \abs{a_n}
			\]. Следует из неравенства треугольника.
		\item
      Если \(\series{n = 0} a_n\) сходится, то \(a_n \to 0\).\footnote{обратное неверно!
      Контрпример -- \(a_n = \frac{1}{n}\). Ряд расходится, хотя \(a_n \to 0\)}
			% Немного настольной живописи в комментариях.
			% ВЫШКА - БОЛЬ. Ты должен БОТАТЬ. И СТРАДАТЬ.
	\end{enumerate}
\section{Признаки сравнения}
	\begin{theorem}
    Если ряд сохраняет знак, а последовательность частичных сумм ограничена, то
    ряд сходится.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
    \(S_{N + 1} - S_N = a_{N + 1} > 0\) (либо \(a_{N + 1} < 0\)), значит,
    \(\{S_N\}\) возрастает (либо, соответственно, убывает), значит, если она
    ограничена, то она имеет предел.
	\end{proof}
  Кстати, \(\lim\limits_N S_N = \sup\limits_N \{S_N\}\) в случае возрастающей
  последовательности \(\{S_N\}\), или \(\inf\limits_N \{S_N\}\), если \(\{S_N\}\)
  убывает.

	\begin{theorem}
    Есть ряды \(\series{n = 0} a_n\) и \(\series{n = 0} b_n\), такие, что \(\forall{n \in \mathbb{N}
    \cup \{0\}} \pred{a_n \le b_n}\).
		
		\begin{itemize}
			\item
				Если \(\series{n = 0} b_n\) сходится, то \(\series{n = 0} a_n\) сходится.
			\item
				Если \(\series{n = 0} a_n\) расходится, то \(\series{n = 0} b_n\) расходится.
		\end{itemize}
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		\(B = \series{n = 0} b_n\). \[
			A_N = \sum\limits_{n = 0}^N a_N \le \sum\limits_{n = 0}^N = B_N \le B
    \]. Значит, \(\{A_N\}\) ограничена, значит \(\series{n = 0} a_n\) сходится. Второй
    пункт -- логическое отрицание первого.
	\end{proof}
	\begin{theorem}
    Пусть есть два ряда -- \(\series a_n\) и \(\series b_n\), такие, что
    \(\lim\limits_N\frac{a_n}{b_n} = k\). Тогда
		\begin{itemize}
			\item
				\(0 < k < +\infty \implies\) сходимость обоих рядов одинакова.
			\item
				\(k = 0 \implies\)
          Если \(\{b_n\}\) сходится, то и \(\{a_n\}\) сходится. И наоборот, если
          \(\{a_n\}\) расходится, то и \(\{b_n\}\) расходится.
					%\begin{align*}
					%	\{b_n\} \text{ -- сходится } &\implies \{a_n\} \text{ -- сходится} \\
					%	\{a_n\} \text{ -- расходится } &\implies \{b_n\} \text{ -- расходится}
					%\end{align*}
			\item
				\(k = +\infty \implies\)
          Если \(\{a_n\}\) сходится, то и \(\{b_n\}\) сходится. И наоборот, если
          \(\{b_n\}\) расходится, то и \(\{a_n\}\) расходится.
					%\begin{align*}
					%	\{a_n\} \text{ -- сходится } &\implies \{b_n\} \text{ -- сходится} \\
					%	\{b_n\} \text{ -- расходится } &\implies \{a_n\} \text{ -- расходится}
					%\end{align*}
		\end{itemize}
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		Рассмотрим сначала случай, когда \(0 < k < +\infty\).
		
    Рассмотрим некоторый \(\varepsilon_0 > 0 : k - \varepsilon_0 > 0\). Для него
    верно \[
			\exists{N_0} : \forall{n > N_0} \pred{\abs{\frac{a_n}{b_n} -k} < \varepsilon_0}
		\]. То есть,
    \{
      \[
  			k - \varepsilon_0 < \frac{a_n}{b_n} < k + \varepsilon_0
      \], \[
  			(k - \varepsilon_0)b_n < a_n < (k + \varepsilon_0)b_n
      \].
    \}

		Отсюда получаем, что
		\begin{itemize}
			\item
        если \(\series{n = 0} a_n\) сходится, то \(\series{n = 0} (k - \varepsilon_0)b_n\) тоже
        сходится, значит и \(\series{n = 0} b_n\) сходится. 
			\item
        если \(\series{n = 0} b_n\) сходится, значит и \(\series{n = 0} (u + \varepsilon_0)b_n\)
        сходится, значит, сходится и \(\series{n = 0} a_n\).
		\end{itemize}
		
    Теперь рассмотрим случай, когда \(k = 0\). Возьмём \(\varepsilon = 1\).  Для
    него \[
			\forall{N_0} ~ \forall{n > N_0} \pred{\abs{\frac{a_n}{b_n}} < 1}
		\], значит, \(a_n < b_n\), а далее используется предыдущая теорема.
		
    Для случая \(k = +\infty\), дробь переворачивается, и всё сводится к \(k
    = 0\).
	\end{proof}
	
	\begin{theorem}	
		Рассмотрим два ряда -- \(\series{n = 0} a_n\) и \(\series{n = 0} b_n\), такие, что \[
      \forall{n \in \mathbb{N}} \pred{\frac{a_{n + 1}}{a_n} \le \frac{b_{n +
      1}}{b_n}}
		\].
    %Для них выполнятся:
		%\begin{align*}	
		%	\{b_n\} \text{ -- сходится } &\implies \{a_n\} \text{ -- сходится} \\
		%	\{a_n\} \text{ -- расходится } &\implies \{b_n\} \text{ -- расходится}
		%\end{align*}
    Для них верно, что если \(\{b_n\}\) сходится, то и \(\{a_n\}\) сходится. И
    наоборот, если \(\{a_n\}\) расходится, то и \(\{b_n\}\) расходится.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		Верно, что \[
      \frac{a_{n + 1}}{a_n} \le \frac{b_{n + 1}}{b_n}, \ldots, \frac{a_1}{a_0}
      \le \frac{b_1}{b_0}
		\]. Перемножим все неравенства: \[
      \frac{a_{n + 1}}{a_n}\cdot\frac{a_n}{a_{n - 1}}\cdot\ldots\frac{a_1}{a_0}
      \le \frac{b_{n + 1}}{b_n}\cdot\ldots\cdot\frac{b_1}{b_0}
		\]. Всё лишнее сократим, и получим \[
			\frac{a_{n + 1}}{a_0} \le \frac{b_{n + 1}}{b_0}
		\]. Тогда \[
			a_{n + 1} \le \frac{a_0}{b_0}b_{n + 1}
    \]. Это всё ещё верно для любого \(n\). Задача сведена к предыдущим
    теоремам.
	\end{proof}
\section{Интегральный признак сходимости}
  Далее будем использовать следующие обозначения:
	\begin{align*}
		A_N &= \sum\limits_{n = 1}^{N} a_n & A &= \lim\limits_N A_N
	\end{align*}
	\begin{theorem}[интегральный признак сходимости]
    Рассмотрим функцию \(f : [1, +\infty] \to \realnum\), убывающую и
    неотрицательную; последовательность \(a_n = f(n)\).  Тогда
    \(\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx\) сходится если и только если
    \(\series{n = 1} a_n\) сходится.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		\begin{leftproof}[ряд сходится]
			\begin{align*}
				\forall{x \in [1, 2]} \pred&\pred{f(x) \le f(1) = a_1} \\
				\forall{x \in [2, 3]} \pred&\pred{f(x) \le f(2) = a_2} \\
				&\vdots\\
				\forall{x \in [N - 1, N]} \pred&\pred{f(x) \le f(N - 1) = a_{N - 1}}
			\end{align*}
			
			Можно ввести функцию \[
				g(x) = \left\{\begin{array}{l l}
					a_1 & x \in [1, 2) \\
					a_{N - 1} & x \in [N - 1, N] \\
				\end{array}\right.
      \], которая не меньше \(f(x)\), и тогда интеграл \(g(x)\) не меньше
      интеграла \(f(x)\): \[
				\int\limits_1^N f(x)dx \le \int\limits_1^N g(x)dx = \int\limits_1^2 g(x)dx + \dots + \int\limits_{N - 1}^N g(x)dx = a_1 + a_2 + \dots + a_{N - 1}
			\]. 
			
			С другой стороны, 
			\begin{align*}
				\forall{x \in [1, 2]} \pred&\pred{f(x) \ge f(2) = a_2} \\
				\forall{x \in [2, 3]} \pred&\pred{f(x) \ge f(3) = a_3} \\
				&\vdots\\
				\forall{x \in [N - 1, N]} \pred&\pred{f(x) \ge f(N) = a_N}
			\end{align*}
			
			Получаем, что \[
        A_N - a_1 = a_1 + a_2 + \ldots + a_N \le \int\limits_1^N f(x)dx \le A_{N
        - 1}
			\]. Если ряд сходится, то любой интеграл не превосходит \(A\): \[
        \int\limits_1^{\alpha}  f(x)dx \le \int\limits_1^{\lfloor\alpha\rfloor +
        1} f(x)dx \le A
			\].
    \end{leftproof}
		\begin{rightproof}[интеграл сходится]
			Мы получаем такое неравенство для любого \(N\): \[
				A_N \le \int\limits_1^{+\infty}f(x)dx + a_1
			\]. Тогда все частичные суммы ограничены, что даёт сходимость ряда.
		\end{rightproof}
	\end{proof}
	
  Теперь можем запасаться рядами, про которые известно, что они сходятся.
  Рассмотрим, например ряд Дирихле:
	\begin{align*}
		\series{n = 1} \frac{1}{n^{\alpha}} \hspace{2cm} &
    \left\{\begin{array}{l l}
			\alpha \le 1 & \text{ряд расходится} \\
			\alpha > 1 & \text{ряд сходится} \\
		\end{array}\right.
	\end{align*}
  Одной из первых была поставлена задача о сумме ряда \(\series{n = 1}
  \frac{1}{n^2}\): \[
		\series{n = 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
	\]. 
	Более современна нам задача о том, как ведёт себя этот ряд при \(\alpha > 1\).
	Можно ввести функцию: \[
		\zeta(\alpha) = \series{n = 1} \frac{1}{n^{\alpha}}
  \], которая имеет название \defined[зета-функция Римана]{зета-функции Римана}.
  Определена она, понятное дело, при \(\alpha > 1\). Кстати, можно рассматривать
  её и при комплексных \(\alpha\), путём определения сходимости комплексного
  числа как сходимости отдельно его вещественной части и мнимой части.
	
  Более того, в комплексном анализе появится приём аналитического продолжения --
  продолжения с сохранением свойства аналитичности, -- причём это продолжение
  строится единственным образом; так вот, оно расширяет эту функцию даже на
  отрицательную область. %Riemann's hypothesis
	
	\begin{align*}
		\series{n = 2} \frac{1}{n\ln^{\beta}n} \hspace{2cm} &
    \left\{\begin{array}{l l}
			\beta \le 1 & \text{ряд расходится} \\
			\beta > 1 & \text{ряд сходится} \\
		\end{array}\right.
	\end{align*}
	В частности, нам пригодится то, что ряд \(\series{n = 0} \dfrac{1}{n\ln{n}}\) расходится.
	
  Интегральный признак сходимости -- это вещь хорошая, но не везде применима.
  Например, он ничем нам не поможет здесь: \[
		\series{n = 1} \frac{1}{n!} = e
	\]. 

\section{Признак Куммера и его следствия}
	\begin{theorem}[признак Куммера]
    Пусть есть ряд \(c_n > 0\), такой, что \(\series{n = 0} c_n\) сходится. Есть ряд
    \(\series{n = 0} a_n\), который мы хотим исследовать на сходимость.  Рассмотрим ряд
    \(K_n = c_n \frac{a_n}{a_{n + 1}} - c_{n + 1}\). Верны следующие два
    утверждения:
		\begin{enumerate}
			\item
        Если \(\exists{\delta_0 > 0} : \forall{n \in \mathbb{N}} ~ K_n \ge
        \delta_0\), то \(\series{n = 0} a_n\) сходится.
			\item
        Если \(\forall{n \in \mathbb{N}} ~ K_n < 0\), то \(\series{n = 0} a_n\)
        расходится.
		\end{enumerate}
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		Докажем сначала первое утверждение. По предположению имеем \[
			c_n\frac{a_n}{a_{n + 1}} - c_{n + 1} \ge \delta_0
		\]. Домножим неравенство на \(a_{n + 1}\): \[
      \underbrace{c_na_n - c_{n + 1}a_{n + 1}}_{b_{n + 1}} \ge \delta_0a_{n + 1}
      > 0
    \]. Отметим сразу, что последовательность \(\{c_na_n\}_{n = 1}^{\infty}\)
    убывает и ограничена снизу следовательно имеет предел.
		
		Теперь рассмотрим \(b_{n + 1}\): \[
      \series{n = 1} b_{n + 1} = \series{n = 1}
      (c_na_n - c_{n + 1}a_{n + 1}) = c_1a_1 - c_{N + 1}a_{N + 1}
    \]. Получаем, что \(\series{n = 0} b_{n + 1}\) сходится, и мажорирует \(\delta_0a_n\),
    значит, \(a_n\) сходится.
		
    Теперь докажем второе утверждение.  Пусть \(K_n < 0\), то есть \[
			c_n\frac{a_n}{a_{n + 1}} - c_{n + 1} < 0
		\] для всех \(n\). Это равносильно  \[
			c_na_n < c_{n + 1}a_{n + 1}
		\], или же, \[
      \underbrace{\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}_{\text{исследуемый}} >
      \underbrace{\frac{\frac{1}{c_{n +
      1}}}{\frac{1}{c_n}}}_{\text{расходящийся}}
		\]. Тогда, по признаку сравнения, \(a_n\) расходится.
	\end{proof}
	
  Теорема эта очень общая, поэтому её порой трудно правильно применить. Для неё
  существуют специальные последовательности \(c_n\), проверяющие специфические
  признаки.
	
  Также можем рассмотреть \(K = \lim K_n\). Тогда если \(K > 0\), то \(\series{n
  = 0} a_n\) сходится, а если \(K < 0\), то расходится. Это называется записью
  признака Куммера в предельной форме. Она применима не везде, но так её
  применять удобнее.
	
  Сформулируем в предельной форме несколько признаков: они сведены в
  таблицу~\ref{tab:kumm}.
	
	\begin{table}[h]
		\centering
    \caption{\label{tab:kumm} Следствия признака Куммера в предельной форме}
		\begin{tabular}{ | c | p{0.25\textwidth} | p{0.5\textwidth} |}\hline
			\(c_n\) & \centering \(K_n\) & Комментарий \\\hline
			\(c_n = 1\)
			&
			{
				\begin{align*}
					K_n &= \frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \\
					\mathcal{D}_n &= \frac{a_n}{a_{n + 1}} \\
					\mathcal{D} &= \lim\mathcal{D}_n \\
					K &= \mathcal{D} - 1
				\end{align*}
			}
			& 
			\begin{itemize}
				\item
					\(\mathcal{D} > 1 \implies \series{n = 0} a_n\) сходится  
				\item
					\(\mathcal{D} < 1 \implies \series{n = 0} a_n\) расходится
			\end{itemize}
			-- признак Даламбера\index{признак Даламбера}
			\\\hline
			\(c_n = n\)
			&
			{
				\begin{align*}
					K_n &= n\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) - 1 \\
					\mathcal{R}_n &= n\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) \\
					\mathcal{R} &= \lim\mathcal{R}_n \\
					K &= \mathcal{R} - 1
				\end{align*}
			}
			&
			\begin{itemize}
				\item
					\(\mathcal{R} > 1 \implies \series{n = 0} a_n\) сходится  
				\item
					\(\mathcal{R} < 1 \implies \series{n = 0} a_n\) расходится
			\end{itemize}
			-- признак Раабе\index{признак Раабе}
			\\\hline
			\(c_n = n\ln{n}\)
			&
			{
				\begin{align*}
					K_n &= n\ln{n} \left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) - \overbrace{\ln\underbrace{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}_{\to e}}^{\to 1} \\
					B_n &= n\ln{n} \left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) \\
					B &= \lim B_n \\
					K &= B - 1
				\end{align*}
			}
			&
			\begin{itemize}
				\item
					\(\mathcal{B} > 1 \implies \series{n = 0} a_n\) сходится  
				\item
					\(\mathcal{B} < 1 \implies \series{n = 0} a_n\) расходится
			\end{itemize}
			-- признак Бертрана\index{признак Бертрана}
			\\\hline
		\end{tabular}
	\end{table}

	\begin{theorem}[признак Гаусса]
		Пусть \(\frac{a_n}{a_{n + 1}}\) имеет следующее представление: \[
      \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \mathcal{D} + \frac{\mathcal{R}}{n} +
      \frac{\theta_n}{n}
		\], где \(\theta_n\) -- ограниченная. Тогда
		\begin{itemize}
			\item
				\(\mathcal{D} > 1 \implies \) ряд сходится
			\item
				\(\mathcal{D} < 1 \implies \) ряд расходится
			\item
				\(\mathcal{D} > 1\): \begin{itemize}[label=\(\star\)]
					\item
						\(\mathcal{R} > 1 \implies \) ряд сходится
					\item
						\(\mathcal{R} \le 1 \implies \) ряд расходится
				\end{itemize}
		\end{itemize}
	\end{theorem}

	\begin{proof}
    Детального рассмотрения требует только случай \(\mathcal{D} = \mathcal{R} =
    1\). Имеем из \(\mathcal{D} = 1\):
		\begin{align*}	
			n\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) = &R + \frac{\theta_n}{n}\\
			&R = \lim{n\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right)} 
		\end{align*}
		Далее, из \(\mathcal{R} = 1\) имеем
		\begin{align*}
			n\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) &= 1 + \frac{\theta_n}{n}\\
			n\ln{n}\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) &= \ln{n} + \frac{\theta_n\ln{n}}{n} \\
			n\ln{n}\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) - \ln(n + 1) &= \ln{n} - \ln(n + 1) + \frac{\theta_n\ln{n}}{n} \\
			n\ln{n}\left(\frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1\right) - \ln(n + 1) &= \underbrace{\ln{\frac{n}{n + 1}}}_{\to 1} 
			+ \theta_n\underbrace{\frac{\ln{n}}{n}}_{\to 0} \\
		\end{align*}
		По прзнаку Бертрана получаем, что ряд расходится.
	\end{proof}
	
	\begin{theorem}[признак Коши]
		Рассмотрим неотрицательный ряд \(\series{n = 1} a_n\). Рассмотрим
		\begin{align*}
			K_n &\ \sqrt[n]{a_n} & K &= \lim K_n
		\end{align*}
		\begin{itemize}
			\item
				\(K < 1 \implies \) ряд сходится
			\item
				\(K > 1 \implies \) ряд расходится
		\end{itemize}
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		Рассмотрим случай \(K < 1\). Рассмотрим \(K' : K < K' < 1\). Тогда \[
      \exists{N_0} : \forall{n > N_0} \pred{K_n < K' \iff \sqrt[n]{a_n} < K'
      \iff a_n < (K')^n \iff K' < 1}
		\]. Тогда \(\series{n = 0} a_n\) мажорируется сходящимся рядом \(\series{n = 0} (K')^n\).
		
    Теперь рассмотрим случай \(K > 1\).  Рассмотрим \(K' : K > K' > 1\). Тогда \[
      \exists{N_0} : \forall{n > N_0} \pred{K_n < K' \iff \sqrt[n]{a_n} > K'
      \iff a_n > (K')^n \iff K' > 1}
    \]. Здесь ни о какой сходимости не может быть и речи, так как ряд \(\series{n
    = 0} a_n\) мажорирует расходящийся ряд \(\series{n = 0} (K')^n\).
	\end{proof}
	
\section{Знакопеременные ряды}
	Начнём с некоторых общих соображений о рядах.

	Рассмотрим ряд \(\series{n = 1}\). Представим его в таким виде:
	\begin{align*}
		p_n &= \frac{\abs{a_n} + a_n}{2} \ge 0 & q_n &= \frac{\abs{a_n} - a_n}{2} \ge 0
	\end{align*}
	получаем представление:
	\begin{align*}
		a_n &= p_n - q_n & \abs{a_n} &= p_n + q_n
	\end{align*}
  Иными словами, вопрос об абсолютной сходимости сводится к изучению поведения
  \(p_n\) и \(q_n\).

	\begin{theorem}
		Рассмотрим \(\series{n = 0} a_n\) -- сходящийся ряд.
		Верно, что
		\begin{itemize}
			\item
				\(a_n\) сходится абсолютно \(\iff \series{n = 0} p_n\), \(\series{n = 0} q_n\) сходятся. 
			\item
				\(a_n\) сходится условно \(\iff \series{n = 0} p_n\), \(\series{n = 0} q_n\) расходятся. 
		\end{itemize}
	\end{theorem}
  Кстати, если ряд \(\series{n = 0} a_n\) сходится, то \(p_n\) и \(q_n\) стремятся к нулю.
  Так, если \(\series{n = 0} a_n\) сходится условно, но \(p_n\) и \(q_n\) представляют
  собой интересные ряды вроде гармонического: стремятся к нулю, но расходятся.
	
	\begin{theorem}[коммутативность абсолютно сходящихся рядов]
		Пусть \(\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) -- биекция.
		
    Если \(\series{n = 1} a_n\) сходится абсолютно, то
    \(\series{n = 1} a_{\sigma(n)}\) тоже сходится абсолютно,
    причём к тому же значению.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
    Пусть наш ряд неотрицателен.  Обозначим
		\begin{align*}
			A_N^{\sigma} &= \sum_{n = 1}^{N} a_{\sigma(n)} &
      A &= \lim A_N &
      K &= \max\{\sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n)\}
		\end{align*}
		Заметим, что \[
      A_N^{\sigma} = \sum\limits_{n = 1}^{N} a_n \le \sum\limits_{n = 1}^k a_n =
      A_k \le A
    \]. Так, \(A_N^{\sigma} \le A\), значит \(\series{n = 1} a_{\sigma(n)}\)
    сходится. Далее, \[
			\lim A_N^{\sigma} = A^{\sigma} \le A
    \]. Ряд, к индексам которого мы применили биекцию, мы рассматриваем как
    <<переставленный>>. Напротив, изначальный ряд является <<переставленным>>
    относительно того, к которому применена биекция. Тогда \(A \le A^{\sigma}\),
    откуда \(A^{\sigma} = A\).
	\end{proof}
\section{Теорема Римана}
	\begin{theorem}[теорема Римана]
    Пусть \(\series{n = 1} a_n\) сходится, но не абсолютно;
    \(\alpha \in \bar{\mathbb{R}}\). Тогда существует перестановка \(\sigma :
    \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), такая что \(\series{n = 1} a_{\sigma(n)} =
    \alpha\).
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		Используем представление
		\begin{align*}
			p_n &= \frac{\abs{a_n} + a_n}{2} \ge 0 & q_n &= \frac{\abs{a_n} - a_n}{2} \ge 0
		\end{align*}
		Имеем для каждого члена следующие варианты:
		\begin{align*}
			a_n &\ge 0 & a_n &< 0 \\
			p_n &= a_n & p_n &= 0 \\
			q_n &= 0 & q_n &= -a_n
		\end{align*}
    Так, всякий \(p_n\) и всякий \(-q_n\) являются членами ряда \(a_n\).  Не
    будем рассматривать нулевые члены, так как  частичные суммы они не изменяют,
    следовательно, не влияют на сходимость.
		
    Заметим также, что расходимость сохраняется, если не рассматривать первые
    несколько слагаемых.
		
    Теперь будем строить перестановку из \(p_n\) и \(q_n\). Давайте считать, что
    \(\alpha > 0\).  Будем выбирать какие-то члены \(p_n\). Частичные суммы
    будут возрастать и в некоторый момент обязательно превысит \(\alpha\) в силу
    расходимости \(p_n\).  Тогда начиная с этого места будем брать \(-q_n\),
    пока сумма не станет меньше \(\alpha\). Это тоже обязательно случится в силу
    расходимости \(q_n\).  Теперь начинаем набирать члены \(p_n\), начиная с
    того, на котором остановились, пока частичная сумма вновь не превысит
    \(\alpha\). Потом будем снова набирать \(-q_n\). Так и будем делать всё
    время, и всякий раз мы будем перескакивать \(\alpha\), так как расходимость
    сохраняется вне зависимости от того, начиная с которого рассматривать ряд.
		
		Теперь рассмотрим частичные суммы построенного нами ряда.  \[
      \mathcal{S}_N = p_1 + p_2 + \dots + p_n  - q_1 - q_2 - \dots - q_m +
      p_{n+1} + p_{n + 2} + \dots + p_k - q_{m + 1} - q_{m + 2}
    \]. Все частичные суммы отличаются от \(\alpha\) на соответствующее \(p_n\)
    или соответствующее \(q_n\), являющееся последним слагаемым в последнем
    пройденном блоке.
		
    \(\series{n = 1} a_n\) сходится, значит, \(\{a_n\}_{n =
    1}^{\infty} \to 0\), значит \(\{\abs{a_n}\}_{n = 1}^{\infty} \to 0\),
    значит, \(\{p_n\}_{n = 1}^{\infty}\) и \(\{q_n\}_{n = 1}^{\infty}\) -- тоже
    бесконечно-малые.  Следовательно, \(\mathcal{S}_N\) сходится к \(\alpha\).
	\end{proof}
\section{Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов}
	Будем рассматривать ряд \[
		\series{n = 1} a_nb_n
  \], где \(a_n\), \(b_n\) -- последовательности.  Пусть \(B_n\) -- частичные
  суммы последовательности \(b_n\). Тогда \(b_n = B_n - B_{n - 1}\). Так и
  перепишем эту сумму. \[
    \sum\limits_{n = 1}^{N} a_nb_n = \sum\limits_{n = 1}^{N} a_nB_n -
    \sum\limits_{n = 1}^{N} a_nB_{n - 1} = \sum\limits_{n = 1}^{N} a_nB_n -
    \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} a_{n + 1}B_{n} = a_NB_N - a_1B_0 +
    \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} B_n(a_n - a_{n + 1})
	\].
  \begin{theorem}[признак Абеля]
    Пусть \(\series{n = 1} b_n\) сходится, а \(\{a_n\}\) --
    нестрого монотонна и ограниченна. Тогда \(\series{n = 1}
    a_nb_n\) сходится.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
    Пусть для определённости \(\{a_n\}\) убывает; и пусть \(L\) -- такое число,
    что \[
			\forall{n \in \mathbb{N}} \pred{\abs{a_n} < L}
    \]. Рассмотрим некоторый \(\varepsilon_0 > 0\). Для него из
    фундаментальности верно \[
      \exists{N_0} : \forall{n_2 > n_1 > N_0} \pred{\abs{\sum\limits_{n = n_1 +
      1}^{n_2} b_n} < \varepsilon_0}
		\]. 

		Применим преобразование Абеля. Рассмотрим некоторые \(n_1\) и \(n_2\): \[
      \sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2} a_nb_n = a_{n_2}b_{n_2} - a_{n_1 +
        1}b_{n_1} + \sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2 - 1} B_n(a_n - a_{n + 1}) \le
      \abs{a_{n_2}}\abs{b_{n_2}} - \abs{a_{n_1 + 1}}\abs{b_{n_1}} +
        \sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2 - 1} \abs{B_n}\underbrace{(a_n - a_{n +
        1})}_{= \abs{a_n - a_{n + 1}}} \le \abs{a_{n_2}}\varepsilon_0 -
        \abs{a_{n_1 + 1}}\varepsilon_0 + \sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2 - 1}
        \varepsilon_0(a_n - a_{n + 1}) =
      \abs{a_{n_2}}\varepsilon_0 - \abs{a_{n_1 + 1}}\varepsilon_0 +
        \varepsilon_0(a_{n_1 + 1} - a_{n_2}) \le 2\varepsilon_0(\abs{a_{n_2}} +
        \abs{a_{n_1 + 1}}) \le 4L\varepsilon_0
		\].
  \end{proof}
	\begin{theorem}[признак Дирихле]
		Пусть \(\{a_n\}\) монотонна и стремится к 0 и \[
			\exists{K} : \forall{N} \pred{\abs{\sum\limits_{n = 1}^N b_n} < K}
		\]. Тогда \(\series{n  =1} a_nb_n\) сходится.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
    Пусть для определённости \(\{a_n\}\) убывает.  Рассмотрим некоторый
    \(\varepsilon_0 > 0\). Для него верно \[
			\exists{N_0} : \forall{n > N_0} \pred{\abs{a_n} < \varepsilon_0}
		\]. 

		Применим преобразование Абеля. Рассмотрим некоторые \(n_1\) и \(n_2\): \[
      \sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2} a_nb_n = a_{n_2}b_{n_2} - a_{n_1 +
        1}b_{n_1} + \sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2 - 1} B_n(a_n - a_{n + 1}) \le
      K\varepsilon_0 + K\varepsilon_0 + K\sum\limits_{n = n_1 + 1}^{n_2 - 1}
        (a_n - a_{n + 1}) =
      K\varepsilon_0 + K\varepsilon_0 + K(\abs{a_{n_1 + 1}} - \abs{a_{n_2}}) \le
        4K\varepsilon_0
		\]. 
	\end{proof}
	\begin{theorem}[теорема Лейбница]
		Если \(\{c_n\}\) убывает, то \(\series{n = 1} (-1)^nc_n\) сходится.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
		\begin{align*}
			S_{2k+1} &=(-c_1) + \underbrace{(c_2 - c_3)}_{\ge 0} + \underbrace{(c_4 - c_5)}_{\ge 0} + \dots \underbrace{(c_{2k} - c_{2k+1})}_{\ge 0} \ge -c_1 \\
			S_{2k+1} &= \underbrace{(-c_1 + c_2)}_{\le 0} +
			\underbrace{(-c_3 + c_4)}_{\le 0} + \dots +
			\underbrace{(-c_{2k+1} + c_{2k})}_{\le 0} - \underbrace{c_{2k+1}}_{\le 0} \le 0
		\end{align*}
		Так, получаем оценку для суммы: \[
			-c_1 \le S_{2k+1} \le 0
		\].
  \end{proof}

